Elastikiyet Modulu (E) ve Boy Uzamasi - Hooke Kanunu
Bir lastik bandi iki ucundan tuttugun zaman cekersin ve uzar. Birakinca eski haline doner. Iste metal cubuklar da, gozle goremesek bile, cekildiklerinde cok az miktarda uzarlar. Bu uzama o kadar kucuktur ki cogu zaman milimetrenin altinda kalir, ama makineler ve yapilar icin hayati onem tasir. Bir vincin halati, bir kopru ayagi, bir cıvata cekme kuvveti altinda ne kadar uzar? Iste bu dersin konusu tam olarak budur.
Uzamayi (DeltaL) belirleyen dort sey vardir. Cekme kuvveti (F) ne kadar buyukse uzama o kadar fazladir; daha kuvvetli cekersen daha cok uzar, bu cok mantikli. Ilk boy (L) ne kadar uzunsa uzama da o kadar fazladir; uzun bir cubugun toplam uzamasi, ayni malzemeden kisa bir cubuktan daha fazla olur. Bu iki sey ile uzama DOGRU orantilidir.
Buna karsilik kesit alani (A) ne kadar buyukse, yani cubuk ne kadar kalin ise, uzama o kadar AZ olur; kalin cubugu uzatmak zordur. Ayrica malzemenin elastikiyet modulu (E) ne kadar buyukse uzama o kadar azdir. E, malzemenin cekmeye karsi ne kadar dirençli (sert) oldugunu gosterir; celigin E degeri cok yuksektir, bu yuzden celik az uzar. Bu iki sey ile uzama TERS orantilidir.
Bu mantigin tamami tek bir formulde toplanir: DeltaL = (F x L) / (A x E). Birimleri ders kitabiyla ayni tutacagiz: kuvvet kilogram (kg), boy santimetre (cm), alan santimetrekare (cm^2), elastikiyet modulu kg/cm^2. Bu birimlerle uzama (DeltaL) santimetre cikar. Celik icin E genelde 2x10^6 kg/cm^2 alinir. Bu formulu ve onun turevlerini (L bulma, F bulma, A bulma, E bulma) ogrenince sinavda bu konunun her sorusunu cozebilirsin.
1 Boy uzamasi nedir ve neye baglidir?
Bir cubuk eksenel (boyu dogrultusunda) bir cekme kuvvetine maruz kaldiginda boyu bir miktar artar. Bu artisa boy uzamasi denir ve DeltaL (delta L) ile gosterilir. Uzama bir uzunluktur, bu yuzden birimi santimetredir (cm).
Uzama dort buyuklukle iliskilidir. Cekme kuvveti F ve ilk boy L ile DOGRU orantilidir: F veya L iki katina cikarsa uzama da iki katina cikar. Kesit alani A ve elastikiyet modulu E ile TERS orantilidir: A veya E iki katina cikarsa uzama yariya iner. Bu iliskilerin hepsi DeltaL = (F x L) / (A x E) formulunde birlestirilmistir.
2 Elastikiyet Modulu (E) nedir?
Elastikiyet modulu, bir malzemenin cekmeye veya basmaya karsi ne kadar sert (rijit) oldugunu gosteren bir sayidir. E ne kadar buyukse malzeme o kadar serttir ve ayni kuvvet altinda o kadar az uzar. Lastik gibi malzemelerin E degeri kucuktur (kolay uzar), celik gibi malzemelerin E degeri cok buyuktur (zor uzar).
Celik icin elastikiyet modulu genellikle E = 2x10^6 kg/cm^2 olarak alinir. Bu cok buyuk bir sayidir (2.000.000) ve bu yuzden celik cubuklar agir yukler altinda bile cok az uzar. Hesaplarda E her zaman paydada (bolen kismda) yer alir.
3 Hooke Kanunu ve elastik bolge
Hooke Kanunu, elastik sinir asilmadigi surece uzamanin uygulanan kuvvetle dogru orantili oldugunu soyler. Yani kuvveti iki katina cikarirsan uzama da iki katina cikar; kuvveti kaldirinca cubuk eski boyuna geri doner. DeltaL = (F x L)/(A x E) formulu bu elastik bolge icin gecerlidir.
Elastik sinir asilirsa malzeme kalici olarak sekil degistirir (geri donmez) ve sonunda kopar. Bu derste tum hesaplarimiz elastik bolgede yapildigi icin formulu guvenle kullanabiliriz.
4 Kesit alani A nasil hesaplanir?
Formulu kullanmadan once cubugun kesit alanini dogru bulmak gerekir. Kare kesitte bir kenar a ise A = a x a. Dikdortgen kesitte uzun kenar ile kisa kenarin carpimi alinir, A = uzun kenar x kisa kenar. Daire kesitte ise capa baglidir: A = (pi x d^2)/4, burada pi = 3,14 alinir.
Alan birimi cm^2 olmalidir cunku formulun butun birim sistemi (kg, cm, kg/cm^2) buna gore kurulmustur. Alani yanlis hesaplamak en sik yapilan hatadir, bu yuzden once kesit seklini belirleyip alani dikkatle bulmak gerekir.
5 Formulun turevleri: hangi buyukluk isteniyorsa onu cek
Ana formul DeltaL = (F x L)/(A x E)'dir. Soruda hangi buyukluk isteniyorsa, formulu o buyuklugu yalniz birakacak sekilde duzenleriz. Ilk boy isteniyorsa L = (DeltaL x A x E)/F olur. Kuvvet isteniyorsa F = (DeltaL x A x E)/L olur.
Kesit alani isteniyorsa A = (F x L)/(DeltaL x E) ve elastikiyet modulu isteniyorsa E = (F x L)/(DeltaL x A) olur. Bunlarin hepsi ayni temel formulun cebirsel olarak duzenlenmis halleridir; ezberlemek yerine ana formulden cikarmayi ogrenmek daha guvenlidir.
📋 Bu Konunun Formülleri
Sınavda bu formülleri ezbere bilmen ve hangi durumda hangisini kullanacağını anlaman gerekir.
- DeltaLBoy uzamasicm
- FCekme kuvvetikg
- LCubugun ilk boyucm
- AKesit alanicm^2
- EElastikiyet modulukg/cm^2
- LCubugun ilk boyucm
- DeltaLBoy uzamasicm
- AKesit alanicm^2
- EElastikiyet modulukg/cm^2
- FCekme kuvvetikg
- FCekme kuvvetikg
- DeltaLBoy uzamasicm
- AKesit alanicm^2
- EElastikiyet modulukg/cm^2
- LCubugun ilk boyucm
- AKesit alanicm^2
- FCekme kuvvetikg
- LCubugun ilk boyucm
- DeltaLBoy uzamasicm
- EElastikiyet modulukg/cm^2
- EElastikiyet modulukg/cm^2
- FCekme kuvvetikg
- LCubugun ilk boyucm
- DeltaLBoy uzamasicm
- AKesit alanicm^2
- ADaire kesit alanicm^2
- dCubuk capicm
- piPi sayisi (3,14 alinir)-
✅ Çözümlü Örnekler
Her örneğin üstüne tıklayıp aç. Önce kendin çözmeyi dene, sonra adımları kontrol et.
Örnek 1 Ornek 1: Ilk boy (L) bulma▶
Verilenler
- Uzun kenar = 2 cm, kisa kenar = 1 cm
- E = 2x10^6 kg/cm^2
- F = 1800 kg
- DeltaL = 0,09 cm
İstenen
- Cubugun ilk boyu L (cm)
Çözüm
- Once kesit alanini bulalim. Dikdortgen oldugu icin: $A = 2 \cdot 1 = 2\ cm^2$
- Ana formulu yazalim: $\Delta L = \dfrac{F \cdot L}{A \cdot E}$
- Bu formulden L'yi cekelim: $L = \dfrac{\Delta L \cdot A \cdot E}{F}$
- Degerleri yerine koyalim: $L = \dfrac{0{,}09 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 10^6}{1800}$
- Payi hesaplayalim: $0{,}09 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 10^6 = 0{,}09 \cdot 4 \cdot 10^6 = 360000$
- Bolme islemini yapalim: $L = \dfrac{360000}{1800} = 200\ cm$
Örnek 2 Ornek 2: Uzama (DeltaL) bulma▶
Verilenler
- Kare kesit, bir kenar = 2 cm
- L = 600 cm
- E = 2x10^6 kg/cm^2
- F = 1200 kg
İstenen
- Boy uzamasi DeltaL (cm)
Çözüm
- Kesit kare oldugu icin alan: $A = 2 \cdot 2 = 4\ cm^2$
- Ana formulu yazalim: $\Delta L = \dfrac{F \cdot L}{A \cdot E}$
- Degerleri yerine koyalim: $\Delta L = \dfrac{1200 \cdot 600}{4 \cdot 2 \cdot 10^6}$
- Payi hesaplayalim: $1200 \cdot 600 = 720000$
- Paydayi hesaplayalim: $4 \cdot 2 \cdot 10^6 = 8 \cdot 10^6 = 8000000$
- Bolme islemini yapalim: $\Delta L = \dfrac{720000}{8000000} = 0{,}09\ cm$
Örnek 3 Ornek 3: Cekme kuvveti (F) bulma▶
Verilenler
- A = 8 cm^2
- L = 300 cm
- E = 2x10^6 kg/cm^2
- DeltaL = 0,08 cm
İstenen
- Cekme kuvveti F (kg)
Çözüm
- Ana formulu yazalim: $\Delta L = \dfrac{F \cdot L}{A \cdot E}$
- Bu formulden F'yi cekelim: $F = \dfrac{\Delta L \cdot A \cdot E}{L}$
- Degerleri yerine koyalim: $F = \dfrac{0{,}08 \cdot 8 \cdot 2 \cdot 10^6}{300}$
- Payi hesaplayalim: $0{,}08 \cdot 8 \cdot 2 \cdot 10^6 = 0{,}08 \cdot 16 \cdot 10^6 = 1280000$
- Bolme islemini yapalim: $F = \dfrac{1280000}{300} \approx 4266{,}67\ kg$
⚠️ Sık Yapılan Hatalar
- Kesit alanini yanlis hesaplamak: kare kesitte A = kenar x kenar, dikdortgende A = uzun kenar x kisa kenar, dairede A = (pi x d^2)/4. Capi yari capla karistirmak veya kenari kareye almayi unutmak siktir.
- Paydadaki 10^6 usunu unutmak veya yanlis carpmak. E = 2x10^6 = 2.000.000'dur; alanla carparken bu buyuk sayiyi dogru goturmek gerekir (orn. 4 x 2x10^6 = 8x10^6).
- Formulu yanlis duzenlemek: L isteniyorsa L = DeltaL x A x E / F olur (carpan ve bolen yerlerini karistirmamak gerekir). Hangi buyukluk isteniyorsa onu yalniz birakacak sekilde cekilmelidir.
- Birimleri karistirmak: kuvvet kg, boy cm, alan cm^2, E kg/cm^2 olmalidir. Boyu metre veya milimetre olarak birakmak sonucu bozar.
- Ondalik sonucu yanlis yuvarlamak: 1280000/300 gibi tam bolunmeyen sonuclarda virgulden sonra iki basamak almak (4266,67) yeterlidir; bolme islemini yarida birakmamak gerekir.
- Uzamanin neye dogru, neye ters orantili oldugunu karistirmak: F ve L ile DOGRU, A ve E ile TERS orantilidir. Bu yuzden A ve E her zaman paydada yer alir.